Acção
Didáctica da Análise Matemática
GUERRA

em meu nome
NÃO!
Formando
Arsélio Martins


Directiva 4
procurar um nova definição de limite de função;
indicar em que medida essa definição é equivalente a alguma das analisadas;
publicar um pequeno texto com a definição e respectiva análise.

Limite (segundo Lisboa: Bento Caraça, e Carlos Sarrico) .pdf

Notas:
N. Piskunov, Cálculo Diferencial e Integral; Edições Cardoso; S.Paulo:
Definição NP. Suponhamos que a função y=f(x) está definida numa vizinhança do ponto a ou em certos pontos da mesma. A função y=f(x) tende para o limite b (y-->b) quando x tende para a (x-->a), se para cada número positivo e, por pequeno que seja, é possível indicar um número positivo d tal que para todos os valores de x, diferentes de a, que satisfaçam a desigualdade |x-a|<d, se verificará a desigualdade |f(x)-b|<e.

Esta definição parece-se muito  com (e é equivalente a?) definições que marcaram várias gerações no ensino superior português. As Lições de Álgebra Superior e Geometria Analítica de Arnaldo Madureira, de que tenho a 2ª edição do tomo I,  tem a primeira edição em 1948, apresentam uma definição que, relativamente à de Piskunov,  apresenta uma pequena diferença (muito significativa?):

Definição AM.
Seja u=f(z) uma função definida na vizinhança do ponto a, podendo ou não ser definida nesse ponto. Diz-se que  a função tende para um limite  A quando z tende para a, quando a cada número positivo d, por mais pequeno que seja, corresponde um número positivo e tal que, para todos os valores de z que satisfazem à desigualdade |z-a|<e, os valores correspondentes de u satisfazem à desigualdade |u-A|<d.

Arnaldo Madureira, que se refere ao Curso de Análise Infinitesimal de F. Gomes Teixeira,  demonstra logo após a definição,  um terorema de equivalência com a definição usada nos programas actuais, a saber:

 Teorema: Se a função u tende para A quando z tende para a, tendem para A todas as sucessões de valores de u correspondentes a sucessões de valores de z que tendem para a, e reciprocamente.

Parece-nos que esta Definição AM é a usada por  Santos Guerreiro, a menos de algumas precisões.  Não consegui encontrar  aqui por  perto os livros de Santos Guerreiro e de Coimbra de Matos  que, se a memória não me falha, serviriam para ver que Lisboa e Porto seguiam à época a mesma definição a menos do simbolismo.
Nos Elementos de Análise (Matemáticas Gerais) de Andrade Guimarães, já há diferenças de apresentação do conceito. Começa por introduzir as noções de ponto-limite (de acumulação) próprios à direita e à esquerda, para depois definir à Heine, usando sucessões, os limites laterais de f(x)|D (D é domínio de f).  Prova a equivalência da definição à Heine de limite lateral à definição à Cauchy
(¡ engraçado!: com  x em ]a-d, a[ e |f(x)-b|<e)
Só mais tarde fala de pontos-limite bilaterais e  prova o
Teorema: É condição necessária e suficiente para que uma função (real, da variável real), f(x)|D, tenha limite num ponto de acumulação bilateral do seu domínio, que existam, e sejam  iguais, os limites laterais (à esquerda e à direita) dessa função, no ponto em em causa.

Tem interesse olhar para as definições de Bento Jesus Caraça e F. R. Dias Agudo. Para mim, que fui aluno de Dias Agudo, a definição deste (pelo menos uma delas) tem um interesse especial. Há ainda algumas outras definições de limites (e mais ligadas ao conceito de função em si mesma,  no quadro contraditório e complementar do par (Leibniz, Newton) que tem um grande interesse,  para mim pelo menos). Se tiver tempo, hei-de disponibilizar textos alusivos (pdf) por aqui mesmo para mim mesmo.