Acção
Didáctica da Análise Matemática
GUERRA

em meu nome
NÃO!
Formando
Arsélio Martins


Directiva 3
Vários problema sérios e interessantes são levantados. Por exemplo:
- Deve adoptar-se uma definição intuitiva no secundário e depois uma outra formal no superior, ou isto pode causar muita confusão nos alunos e a estes deve ser sempre apresentada a definição formal mais avançada?
- Para usar um expressão do Arsélio, como elaborar "um discurso razoável em volta da construção da definição"?
- Deve haver uma definição "oficial" única para não se levantarem problema no exame nacional do 12º ano?
- O que fazer se um ponto não pertence ao domínio? (ver o trabalho do Raul)
- As sucessões devem ser consideradas funções contínuas? De acordo com a definição de Cauchy devem, de acordo com definições que usam pontos de acumulação e com a definição de Guzman (ver trabalho do Raul) não devem.
- O uso da tecnologia favorece ou prejudica abordagens intuitivas ou formais do conceito de continuidade?
- Os exemplos mais patológicos não devem ser usados no ensino secundário? E no ensino superior para não matemáticos (por exemplo engenheiros)?  



Comentários:
1.
No decurso do ensino secundário deve ser elaborada ou mesmo construída uma definição formal- esta é a minha opinião.  Dito de outro modo: podemos pensar e fazer pensar em linguagem ordinária sobre uma determinada qualidade desta ou daquela função. A qualidade em causa pode ser esclarecida a partir da continuidade de segmentos de  reais (pode-se partir da densidade dos racionais, dos irracionais e dos reais, claro! para aprofundar introduzindo o que separa os reais dos racionais e dá sentido a isso de passar o lápis sem levantar). Com dois intervalos de reais  a coisa fica bem completa para ser claro o que interessa para as funções definidas em [a,b]x[c,d] (assim ou mais ou menos assim, mais ou menos abertos, mais ou menos fechados) {(x,y): y=f(x)}, o que com a métrica usual, permite falar do que interessa. Em volta de um valor x' entre a e b,  a pequenos movimentos de x relativamente a x' corresponderem ou não pequenos movimentos de f(x) relativamente a f(x'). Este é o principal problema que é preciso resolver nos programas de geometria dinâmica que traçam lugares geométricos (e pode fazer-se alguma abordagem apoiada no cinderella, por exemplo), bem como se podem fazer abordagem nas calculadoras utilizando os gráficos e as tabelas com diversos passos das roscas (no x).  As tabelas (numéricas) ajudam a esclarecer/iluminar isso mesmo - pequenos acréscimos em x (tão pequenos quanto se queira) e correspondentes pequenos acréscimos em y para as funções contínuas num dado ponto (x', f(x')) a que correspondem visualizações gráficas conformes. Isto é bom até para verificar a forma de trabalhar das diversas calculadoras e, particularmente abordar as limitações para o traçado dos gráficos… A continuidade pode servir para isso.
E penso que feito tal trabalho de construção sobre os números reais, se pode escrever alguma síntese em linguagem mista - da língua ordinária e da extraordinária simbólica (não são simbólica todas elas?).

2.
De qualquer modo, o que nós sabemos é que os professores e os estudantes guardam uma primeira definição como sendo a matriz de todas as definições que o futuro venha a trazer. De tal modo, assim é que, apesar de todo o percurso feito no ensino superior (com as análises todas e toda a topologia com todos os senões sobre a primeira definição), os licenciados recentes e antigos não hesitam nas definições a escolher quando ensinam.  A tradição tem sido feita não sobre o aprendizado do ensino superior mas sobre a primeira e mais ingénua definição do ensino secundário quando ela existe. Pior ainda, na maior parte dos casos, não é a definição em compreensão que conta, mas uma espécie de definição em extensão feita a partir daquilo a que se chamam os casos e os exemplos. Os estudantes guardam imagens e classificam as funções de contínuas ou descontínuas associando a algum caso e raciocinando por analogia e ou associação. Só depois (quando lhes é exigido) lhe aplicam o arsenal da definição enquanto tal e ainda assim o que guardam do ensino secundário. É, pois, decisiva a definição do ensino secundário e ela deve ser tão simples que não introduza informação nociva contra a utilidade.

3.
E é, por isso, que  acabo por defender uma definição  sem considerar os casos patológicos e sem considerar (como assunto e exemplo para a continuidade) as funções de variável natural. Já nos basta a fragilidade sobre o conceito de número real que aocmpanha a vida dos que aprendem matemática e até dos que a ensinam. Feitas as contas às dificuldades e, mantendo as definições da tradição, continuaria a defender uma definição que só considere continuidade de funções de variável real e em pontos do domínio (intervalo ou união de intervalos de números reais) e em que se exija, para além da existência de limite no ponto, este limite seja igual ao valor da função no ponto em causa (limites laterais para continuidade em pontos fronteiros para  funções definidas em intervalos fechados, mas isso resulta obviamente da própria noção de limite, já que para o limite só contará a aproximação por pontos do domínio).  Para a continuidade secundária, só interessará este ponto de vista que não prejudica o alargamento da definição noutras topologias, espaços métricos ou não, mantendo uma visão primeva não conflituosa com uma intuição necessária.

4.
Já não me pronunciaria assim para os cursos superiores (engenharia, como é apresentado para a discussão) por não saber que usos podem ser feitos do conceito de continuidade e qual o interesse da coisa em funções como a Diraciana ou outras valzaquianas que à engenharia importam certamente. Espero bem que não seja lido a frio por algum  purista da matemática (in)útil para engenheiros que os departamentos de matemática criados dentro das faculdades de engenharia (ou de economia) teimam em leccionar esquecendo as aplicações e os serviços que lhes deram origem e dos quais se separam radicalmente para se servirem a si mesmos só. A discussão da matemática  aplicada e da aprendizagem a partir da realidade foi assunto que eu muito debati quando era jovem  (e maoísta, isso é importante para compreender o que eu defendia como dirigente estudantil no porto - usávamos muitos exemplos  da matemática cínica), que abandonei e voltou a interessar-me nas discussões pós 25 de Abril, com o brasileiro Bayard Boiteaux (professor de matemática na faculdade de economia do porto, durante algum tempo) e com quem mantive alguns contactos motivados pelo protesto contra assassinatos políticos no Brasil e por um regresso ao Bento Caraça. Não me envergonho de ter mudado de opinião muitas vezes a este respeito, para as dúvidas que me sobram hoje e me dão uma grande tranquilidade de espírito.

5.
Como é óbvio, desde o princípio deste comentário, acho que a tecnologia dá ajudas fundamentais para a introdução do conceito. Desde a calculadora gráfica até aos computadores (incluindo os programas de geometria dinâmica). Experimentei abordar este problema a partir da tecnologia - para alunos e professores da universidade de aveiro - ainda muito recentemente. Não me levantaram problemas de maior. E, entre os professores presentes, estava o fanático dos limites David Viera que não levantou problemas à minha abordagem nesse senão. E não me pareceu que estivesse distraído.

6.
Definição oficial?  Quem é que a torna oficial? Quem se arroga tal mandato?  Eu penso que há uma definição secundária consensual e, arrogante e presunçoso! que eu sou, penso que anda à volta do que eu defendi por aqui. Embora haja também algumas confusões à volta dela  por quem sobre ela produz interpretações e exercícios de retórica e de consolidação…



AM