Acção
Didáctica da Análise Matemática
GUERRA

em meu nome
NÃO!
Formando
Arsélio Martins


Directiva  2
na sessão de
24 de Março

publicar na sua área de trabalho uma reflexão sobre o ensino da noção de função contínua
 
Prestação de contas
Participei na discussão irc em vários momentos, mas fiquei com a ligeira sensação de que em certos momentos conversei sozinho e que as coisas voltavam à mesma. Várias vezes, ao longo da sessão, se responderam às questões e se argumentou num sentido e noutro,  para esbarrarmos com a mesma pergunta mais adiante. Como se não tivesse acontecido nada antes. Até que abandonei e fiqui como observador. O defeito é só meu?  O que é que se passou?

Reflexão:




 Eu estou convencido que o conceito de continuidade deve ser estabelecido  na base das crenças e convicções das crianças e adolescentes, sobre a própria palavra (contínuo ou contínua, continuidade e similares) adaptada às linhas ou aos corpos. A ideia do traçado ininterrupto pelo lápis é boa, embora tenha de ser tão esclarecida (tão confirmada quanto desmentida para fazer ciência) como a ideia de uma festa contínua numa cara em que iludimos os acidentes (até tapamos os poros) com  "base" ou com os olhos que cegam para as borbulhas da  coisa amada, ou como se parte da ideia simples física de corpo contínuo à vista desarmada para um corpo constituído por moléculas e átomos e buracos...



Só temos de arranjar algum caminho para extrair uma noção fundamental que não possa  ter mais que  uma leitura  (se é que isso é possível) e nem me importava (se tal fosse claro, depois do descasque corrente) de  poder escrever uma definição com simbologia do tipo da que é proposta em alguns textos de  de análise não-standard, com  a noção de proximidade infinitesimal  tratada,  Eles escrevem mais ou menos assim:
ans
 
Assumindo que não me interessam senão pontos do domínio e, de entre estes, nem me interessam os pontos isolados (que afinal nem levantam problemas de maior a não ser para alimentar  deambulações lógicas),
eu gostaria  de escrever simplesmente:
 se para todo o x infinitamente próximo de a, o valor de f(x) está infinitamente próximo de f(a)*, podemos dizer que f(x) é contínua num ponto a do seu domínio, 
se  não me caísse em cima o carmo e a trindade.

* com o sentido:
definição
Caraça:
Mas imponho a mim mesmo uma referência a Bento de Jesus Caraça. Muitas vezes falamos de Caraça e dos seus Conceitos Fundamentais, mas quando se trata da abordagem dos conceitos (puros e duros) não nos referimos a eles. E parece-me que é um bom livro para o ensino secundário, também a  esse nível, até porque dá um bom enquadramento vital aos conceitos que acaba por definir com o detalhe formal suficiente. Na última reedição da Gradiva, para além do que Caraça escreve, há notas muito interessantes de desenvolvimento do conhecimento científico.Uma das notas de A. Franco de Oliveira sobre ips e igs (infinitamente pequenos e infinitamente grandes), Franco de Oliveira acaba por fazer uma introdução interessante à Análise Não Standard (com referências a Portugal) já aqui referida.
Por exemplo, no caso da continuidade, Bento de Jesus Caraça introduz um capítulo  - Conceito matemático de continuidade — em que dá a definição de continuidade e de descontinuidade e discute os seus vários aspectos. No que à continuidade num ponto respeita:
Seja y(x), como sempre uma função real de variável real.
Definição I. — Diz-se que y(x) é contínua no ponto a do seu domínio quando forem nesse ponto, satisfeitas as seguintes condições:
a) Existe é é finito o valor da função no ponto a;
b) Existe e é finitio o limite da função no ponto a;
c) Esse limite é igual ao valor da função no ponto a.
(…)
Definição II. — Todas as vezes que não forem verificadas simultaneamente as condições da Definição I, a função diz-se descontínua no ponto a; diz-se ainda que o ponto a é para ela um ponto de descontinuidade.

Não é a que utilizamos formalmente falando? Não devemos motivar para a leitura dos Conceitos Fundamentais quando abordamos conceitos para os quais BJC não introduz qualquer ruído ao nível da escrita actual. Mesmo que introduzisse algum ruído ao nível da escrita formal, não era isso formativo?

Aliás valeria a pena dar a ler tudo o que se refere à continuidade, desde as definição dos números reais e das variáveis reais.