Antes de passarem à prática, as ideias valem o que valem…

O fado da recta

Falam-me da recta. Da equação vectorial? Da equação reduzida da recta. Como deixar que os estudantes façam o seu caminho até à equação reduzida da recta?

Antes de mais convém não esquecer que os estudantes já lá chegaram há vários anos atrás, já têm na cabeça alguma equação da recta.

O que acontece no 10º ano?

Os professores e os estudantes andaram a navegar no mar das figuras a três, duas e uma dimensão e fizeram tantas e tão variadas descrições das suas qualidades até que passaram tudo a coordenadas e começaram a descrever tudo usando-as. Quando isso foi possível representaram as qualidades por condições e alguns conjuntos de pontos passaram a ser representados por coisas como pares de números tais que um deles está relacionado com o outro de algum modo, isto é, por serem soluções de equações, inequações (ou condições, em geral). Neste programa de Matemática A, ganha uma importância desemdida e merecida o conceito de lugar geométrico e, para efeito da sua entrada efectiva em cena por situações práticas, com uso de uma noção de distância. Onde as diferenças começam a aparecer notáveis como só elas sabem ser a vários níveis de uso e de sucessivas generalizações. Sempre acompanhadas do Teorema de Pitágoras, da semelhança de triângulos, da proporcionalidade directa, da razão, da comparação, etc, as diferenças mantêm a sua importância nos vectores (esses que também vêm de longe no tempo e de vários lugares científicos e da realidade das situações que deles carecem para serem explicadas). O que aconteceu de novo com os vectores não foi outra coisa senão passá-los (mantendo-os) trocá-los por miúdos números, pares de números, ternos de números (todos obtidos como diferenças de outros, todos contribuindo para estabelecer a harmonia derradeira entre seres primordiais e diferentes, entre as operações e as qualidades primordiais que tardavam em juntar-se numa só casa mental).

Muitas situações que se explicaram e explicam fisicamente permitiram introduzir os vectores e as suas operações, com pequenas incursões pelos significados geométricos (que tão bem se adequam aos fenómenos físicos). As transformações geométricas mais elementares (translação e homotetia, principalmente, mas também simetrias)  vão agora juntar-se na adição de pontos com vectores e de vectores, na multiplicação de um escalar por um vector, etc e tudo só com números(, pares de números, ternos de números) ou quase e o que isso significa para fazer tudo o que há a perceber.

E, passados os vectores nestes modos dinâmicos, o que fazemos para introduzir a recta?

Dado um vector u (como entidade geométrica e como sequência ordenada de números relativa a um referencial) e um ponto, P, a recta que passa por P e tem a direcção de u é um lugar geométrico tão unicamente bem definido, assim Euclides descanse em paz, que a sua equação vectorial é uma não dificuldade e as contas que se lhe seguem para simplificar escritas e descobrir significados geométricos neste ou naquele parâmetro devem ser uma viagem sem sobressaltos até à equação que afinal já se conhece há muito.

Até parece que não proponho coisa alguma. E não proponho mais do que a cúpula para o trabalho de dar potência analítica consciente a algumas coisas que já foram abordadas de outro ponto de vista mais ingénuo(?)

Isto pode discutir-se?

Se fizermos assim, podemos trabalhar desde muito cedo com tecnologia gráfica e explorar logo significados para variações de parâmteros, com aplicações do conceito de recta, etc. Neste caso, proponho actividades puramente matemáticas para o conceito e aplicações com novos recursos depois.

Porque é que não se dá uma volta pelas aplicações espanholas? Aqui está uma ligação directamente para a recta que passa por dois pontos, para aguçar o apetite, mas podem entrar pelos vectores, se ainda por lá não passaram. Eu vou propor algumas incursões aos meus alunos. Mas, se explorarem o programa Descartes do Ministério da Educação, Ciências e Desportos  da vizinha Espanha, podem mesmo descarregar as aplicações que são usadas e fazer um grande trabalho offline.

(AM, 06.01.2004 )