Se eu quisesse voltar à porta de entrada…  
 

A importância do caixote

Ao lado da luta pela reabilitação do quadriculado, travou-se outra luta pelo paralelilípedo ou caixote. No espaço, os caixotes paralelipipédicos assumem grande importância para a representação de pontos dados pelas suas três coordenadas, para o cálculo das distâncias entre pontos, para os vectores, etc. O encaixotamento na quadricula(2D) e depois usando representações em cavaleira do paralelipípedo (3D) é coisa que serve para tudo, sendo que estão ligadas.

Mas ainda antes da geometria cartesiana, tal como se fez para vários problemas de áreas (sem recurso a fórmulas) e para assuntos de secções, a compreensão do encaixotamento é um objectivo muito importante do estudo geométrico no 10º ano (do meu ponto de vista.  Estou a dar vários exemplos de trabalhos propostos que também apareceram naturalmente nas provas de avaliação.

O tetraedro dentro do cubo

Antes da primeira prova de avaliação, os estudantes fizeram trabalhos de manipulação e construção de um cubo e do tetraedro cuja aresta é a diagonal facial do cubo. Era uma proposta de trabalho que os professores da escola tinham apresentado na formação com a Isabel Órfão. A Maria Santos tinha mesmo realizado alguns modelos muito bonitos que me tinha mostrado. Esse trabalho de planificação e construção foi proposto a grupos de estudantes, com alguns resultados não muito brilhantes. Algumas das construções resultaram mesmo ridículas. Mas serviram para o efeito, como tinham antes seervido as manipulações com o polydrhon (para os sólidos platónicos- muito mal) e o cubo com água colorida para os cortes do cubo. Uma parte desses falhanços (de perfeição…) ficam a deveer-se em grande parte às minhas próprias dificuldades de organização e de confiança nas minhas próprias construções.

Mas o que para aqui interessa é que os estudantes realizaram os trabalhos e estabeleceram a relação entre o volume do cubo e do tetraedro de aresta igual à sua diagonal facial. Tentei também  ajudar com a cirurgia assassina sobre um cubo de plasticina. Levámos à faca um cubo e cortámos pirâmides triangulares com uma face equilátera de lado igual à diagonal facial do cubo e vértices sendo 4 vértices vizinhos do cubo, o que quer dizer que as outras 3 faces eram triângulos rectângulos - meias faces do cubo. Sobrou-nos o tetraedro dos nossos sonhos.

Pensei eu que, depois de todo esse trabalho, ao pedido do volume de um tetraedro os estudantes começariam por encaixotá-lo num cubo. Mas não foi isso que aconteceu. E caíram em todas as armadilhas das dificuldades que o tetredro regular levanta como pirâmide. Muito formativo, para mim e para eles.

A primeira parte da  primeira prova de avaliação dizia e pedia exactamente o seguinte:

  • planifA aresta de um tetraedro regular mede 8 unidades. Designamos os seus vértices por A, C, F e H.
    a) Desenhe, em verdadeira grandeza, a face [ACF] do tetraedro. E, a partir dessa face, desenhe uma planificação desse tetraedro.
    b) Cada aresta deste tetraedro é a diagonal facial de um cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G e H. Desenhe, em verdadeira grandeza, a face do cubo de que [AC] é a diagonal. Calcule e indique o valor exacto da aresta do cubo.
    c) Calcule o volume do tetraedro regular ACFH.

Ainda para mais com aquela segunda alínea ali mesmo a meio, não acham que eu tinha rqazão para esperar o acerto da resposta por todos os alunos? Nesta altura, os jovens ainda pensavam em cálculos que eu não tinha ensinado e que lhe estavam no sangue básico ou nos ensinamentos de alguém que não o professor.

Um compasso, uma régua e uma contagem de quadradinhos resolviam a primeira alínea, como mostra a primeira figura.

 

A segunda alínea ficavatão facilmente resolvida com o recurso à quadrícula que até dói. Basta ver asegunda figura, em que os lados do quadrado têm de estar na diagonal da quadrícula. Até a medida do lado do quadrado (aresta do cubo) fica sugerida pela quadrícula - quatro diagonais da quadrícula (unitária). Nem maus cálculos com a aplicação do teorema de Pitágoras nos pode enganarm, não é? Bendita quadrícula!

 

Finalmente o volume do tetraedro sairia imediatamente se nos lembrássemos da relação (que já antes tinha sido estabelecida e bem e pelos estudantes) entre o cubo e o tetraedro nas condições do problema. Em perspectiva cavaleira, poderíamos representar a situação como segue. Nos modelos 3D, tínhamos visto que o cubo se podia decompor em 4 pirãmides iguais e o nosso tetraedro.

 

 

 

 

As nossas pirâmides que envolvem o tetreadro no âmago do cubo podem e devem ser olhadas para efeitos de facilidade de cálculo de volumes como escolhemos olhar para  a pirâmide de vértices ABFC - base [ABF] (triângulo rectângulo de área metade da área da face do cubo) e altura BC aresta do cubo.

Se designarmos por a a aresta do cubo, cada uma destas pirâmides tem por volume a sexta parte do volume do cubo. As quatro juntas constituem duas terças partes do volume do cubo, pleo que sobra a terça parte correspondente ao tetraedro.

Para esclarecer melhor a situação poderíamos pensar na planificação das pirâmides do tipo da ABFC, embora isso fosse redundante sobre o trabalho que se tinha feito com os modelos.

 

 

 

 

 

 

O que já não foi redundante foi mostrar aos esudantes que procuraram calcular o volume do tetraedro (fórmulas sagradas!) calculando bem a área de uma das faces (4 faces triangulares equiláteras de lado 8), mas mal a sua altura revelando não ter ideia da distância do ortocentro aos vértices e tendo a ideia errada de que este se encontra a meio de cada uma das alturas.

 

Ainda não fizeram (nem fizemos a demonstração) mas ficaram um pouco desconcertados (não acreditando no que os olhos vêem) com a evidência de uma construção no Cinderella como aquela que aqui deixamos:

 

   
   

 

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