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A importância do papel quadriculado.
Uma das lutas foi provar que o papel quadriculado e os instrumentos de desenho ajudam a ver e a pensar em Matemática, especialmente em Geometria. Isso foi sendo conseguido devagar. Um dos capítulos da primeira prova de avaliação que apliquei em Outubro, traduzia em actos a consistência do que defendia com a avaliação. Os resultados não foram animadores imediatamente, mas as reacções no trabalho quotidiano e nas provas seguintes mostraram que os estudantes tinham acusado o toque. Lamentavelmente. Mais tarde, os estudantes que tinhamd esprezado as advertências para o uso inteligente do quadriculado, antes da prova, vão levarao exagero o uso do papel quadricualdo.


A seccção e a sua verdadeira grandeza.


Um dos temas dessa prova, desdobrado em exercícios cuja resolução saía muito facilitada com a ajuda do quadriculado e dos instrumentos de desenho, utilizava um cubo de aresta 6.

Na prova era apresentada uma representação do cubo em persepctiva cavaleira (dimétrica) com as faces anterior e posterior em verdadeira grandeza, a saber [AEFB] e [DHGC], como pode bem ver-se pelo quadriculado. As outras faces quatro faces não se encontram em verdadeira grandeza, como se sabe. Para além dos vértices só era presentado o ponto M, médio da aresta [EF].

Uma das questões dizia redspeito a determinar a secção do cubo ao ser cortado pelo plano [ACM] . Só teria de pensar-se que se o plano [ACM] tinha os pontos A e C em comum com o plano da aresta [ABCD] e logo o segmento [AC]. E do mesmo modo, [ACM] e a face [AEFB] intersectam-se seguramente segundo [AM]. Por ter um ponto comum com a face [EFGH], M, o plano [ACM] interesecta o plano da face [EFGH] e essa intersecção será uma recta paralela a AC, por serem paralelos os planos das faces [ABCD] e [EFGH]. Chamámos N ao ponto de intersecção da recta paralela a AC tirada por M. A secção fica assim bem determinada - é o trapézio [AMNC]. Pode também concluir-se que o trapézxio é isósceles. Os comprimentos de [AM] e [CN] sáo iguais (?). Nesta figura, o trapézio não está em verdadeira grandeza. Mas com o auxílio de uma planificação no quadriculado, podemos obter os lados do trapézio em verdadeira grandeza, como se vê na figura seguinte em que desenhamos as faces intervenientes:

planifica

O problema que ficou por resolver, consiste em desenhar um trapézio de que se conhecem os lados. E isto, devo confessar que a esperança de haver um estudante que fizesse o desenho era muito pequena. Mas lá foi posta para ser resolvida e ser discutida. Não foi errado. De facto, em trabalhos posteriores, os estudantes demonstraram que tinham sido alertados para a importância de pensar sobre os desenhos. A construção que propomos assenta em considerar sobre a base maior do trapézio [AC] um triângulo isósceles (AM=CN, que nesta figura fica completamente claro, não é?) de base (AC - MN). Fácil é perceber que o triângulo [MFN,] rectânguilo em F, é igual ao triângulo [MFN'] da planificação.

vg3

A figura ao lado é completamente elucidativa.

Convém esclarecer que há alguma maldade neste exercício. Considero-o muito formativo, principlamente porque eu tive muita dificuldade em resolvê-lo quando me foi apresentado como desafio por Aurélio Fernandes para os nossos divertimentos com o Cinderella.

De facto, as minhas dificuldades em fazer construções e em pensar sobre elas só me aguça a vontade de reconstruir competências de construção na casa mental dos estudantes, para não ficarem como eu.

A descrição de todos os passos é fundamental para que os estudantes sigam fios de raciocínios (na sua sequência).

Para além de tudo o resto, estas construções com o Cinderella, permitem fazer verificações automáticas.

 

O aparecimento destas actividades em provas de avaliação podem não ter sentido fora do contexto da leccionação a que se referem. Provavelmente há virtudes que só eu reconheço. Mas é assim a vida.

Uma outra questão que usava também a figura do cubo em que se peida a distância de H ao ponto de interesecção de GH  com uma recta paralela a AM passanto por C  também sairia muito facilitada com raciocínios que levassem em conta o quadriculado e a forma "quadricular" de traçar rectas com a mesma direcção. Infelizmente só um (ou dois) estudante fez o raciocínio simples esperado.

 

 

 

   
   

 

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