Proposta de trabalho nº 1
Uma pequena floresta possui 4000 árvores.
O novo plano de reflorestamento prevê que sejam abatidas, anualmente, 20% das árvores e que 1000 novas árvores sejam plantadas.

Será que a floresta vai desaparecer?
O processo estabilizará as dimensões da floresta?
Se assim for, daqui a quantos anos e com quantas árvores?
Resolução:

Consideremos a sucessão dos números inteiros de árvores da floresta em cada ano após o ano 0 (de partida) em que 4000 árvores formavam a floresta. Assim:

u(0)= 4000 e u(n) = .2*u(n-1)+1000 (modelo matemático adequado à situação)



A tabela sugere que a partir do 45º ano, o número de árvores da floresta vai passar a ser constante. De facto, se u(n) = 5000, u(n+1)=.8*5000 + 1000. Já o gráfico sugere (Yscale = 100) que é só a partir do 76º ano é a que o número de árvores da floresta se fixa em 5000.

Podemos verificar o que se passa :

u(0)= 4000=.8^0 *4000+0*1000
u(1)=.8*4000 +1000
u(2)=.8*(.8*4000+1000)+1000 =.8^2*4000+.8^1*1000+.8^0*1000
u(3)=.8*(.8*(.8*4000+1000)+1000)+1000=.8^3*4000+.8^2*1000+.8^1*1000+.8^0*1000
....
u(n)=4000*.8^n+1000*.8^(n-1)+1000*.8^(n-2)+....+1000*.8^1+1000=4000*.8^n+ 1000(1-.8^n)/(1-.8) =4000*.8^n +5000*(1-.8^n)=5000-1000*.8^n que tende para 5000 quando n tende para + infinito (.8^n é um infinitésimo).

Não há dúvida que a floresta estabilizaria quando o número de árvores chega aos 5000, mas por maior que seja n, .8^n nunca é zero e a floresta nunca chegará a ter as cinco mil árvores. A confiar no modelo matemático.
u(0)=4000
u(1)=4200
u(3)=4360
u(4)=4488
u(5)=4590.4(?)
Abati mais do que 20% ou abati menos? Como é que se abate 20% de 4488? E, por aí em diante... Um proprietário rigoroso e preocupado com o ambiente vai abater por defeito e vai deixar estabilizar a floresta.


Espero não ter errado os cálculos, mas a vida dos humanos está cheia de dificuldades.