Crescimento de uma população de árvores

O número de árvores de uma certa espécie aumenta no tempo t, de acordo com a lei, N(t) numa dada região de reserva natural.

1. Quantas árvores tinha inicialmente a reserva natural?
2. Em que momento t a população aumenta mais rapidamente?
3. Sr. Jaime, guarda florestal, viveu sempre junto da reserva natural tendo esta 100 árvores quando nasceu, e verificou que o número de árvores passou para 200.

• Quantos anos tinha o Sr. Jaime quando fez esta afirmação?
• Durante quanto tempo se manteve este número constante?
• É possível indicar o valor exacto da idade do Sr. Jaime?

Modelo Logístico Contínuo

Leitura do gráfico

Para t=0, obtém-se e para grandes valores de t, o número de árvores tende a estabilizar nas 280.

Nos gráficos que se seguem podemos ler ainda que ocorre quando t varia entre 59.99 e 134.04.

Podemos dizer que face a este modelo contínuo, quando t=60 já existem 100 árvores e durante o 134º ano ocorreu o aparecimento da 200ª árvore pelo que o sr Jaime é rapazinho para se ter reformado aos 74 anos.

O momento de maior velocidade no crescimento lê-se pelo valor máximo de Nderiv aplicado a N(t) que ocorre quando t=88.69 . A velocidade é neste tempo de 1.41 árvores por ano.

Poderíamos verificar que neste valor t a segunda derivada se anulava.

Modelo Logístico Discreto

O crescimento de muitas populações em sistemas fechados é condicionado. A população cresce tendo em conta não só a população existente num determinado momento, mas também um valor de saturação imposto por condições de habitat, como espaço físico, disponibilidades alimentares, etc. Nestas condições, as populações não crescem até ao infinito.

Crescimentos como estes são frequentes em sistemas ecológicos, em sistemas de vendas (os utilizadores de uma empresa como Telecel, TMN..) e outros, podendo ser modelizados pelo crescimento logístico.

O modelo de crescimento logístico, como este caso, assume que taxa de variação média relativa ao intervalo é directamente proporcional quer à população existente no instante , quer ao efectivo que a população pode crescer até atingir o valor limite.

Assim, podemos escrever que

donde

o que nos dá a população num dado tempo dependente de uma constante K que regula o crescimento a par de um limite L, imposto pelas condições do sistema.

Podemos usar sucessões para descrever este modelo de crescimento:

Usando o modo Seq da calculadora e fazendo L=280 e K=0.000725=7.25E-5

(O valor de K foi obtido por tentativas para ajustar o melhor possível à função inicial N. Na prática real, de campo, pode ajustar-se a dados recolhidos )

Comparação entre valores obtidos nos dois modelos

Comparando os valores dada pela função contínua N e esta função discreta un notamos uma grande proximidade de valores.

Os valores 100 e 200 são atingidos para os valores de tempo 60 e 134 , valores praticamente iguais em ambas as funções.

Regressão Logística

Revertendo este problema, se tomarmos como conhecidos alguns pares tempo – número de árvores como os indicados em L1 e em L2arrancados a N(t) e determinando uma expressão de regressão logística, a

calculadora oferece-nos os espectaculares valores com a nota de que , o que dá para admirar esta caixinha TI-83 e ver como os caminhos de modelação (pelo menos no aspecto de encontrar a formulazinha) estão muito desbravados.

António Abrantes

Escola Secundária de Seia Junho/2000